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《机器学习实战》 - Logistic回归

本文内容主要来自 《机器学习实战》[美] Peter Harrington

本文为本人看此书 笔记

1. 简介

Logistic 回归 分类基本思想:

根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类。

“回归”一词 源于最佳拟合,表示要找到最佳拟合参数集

Logistic 回归

优点:计算代价不高,易于理解和实现

缺点:容易欠拟合,分类精度可能不高

使用数据类型:数值型和标称型数据

2. 基于 Logistic回归和 Sigmoid函数 的分类

海维塞德阶跃函数(Heaviside step function)

或者称为单位阶跃函数

该函数存在问题:该函数在跳跃点上 从0瞬间跳跃到1

Sigmoid 函数: \[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \]

\[ \sigma '(z) = \frac{\partial \sigma}{\partial x} = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) \]

Sigmoid 函数是一种阶跃函数(step function)。

在数学中,如果实数域上的某个函数可以用半开区间上的指示函数的有限次线性组合来表示,那么这个函数就是阶跃函数。而数学中指示函数(indicator function)是定义在某集合X上的函数,表示其中有哪些元素属于某一子集A。

两种坐标尺度下的Sigmoid函数图 如下:

上图的横坐标为-5到5,这时的曲线变化较为平滑;下图横坐标的尺度足够大,

可以看到,在x = 0点处Sigmoid函数看起来很像阶跃函数

因此,为了实现Logistic回归分类器,我们可以再每个特征上乘以一个回归系数,然后将所有的结果值相加,将这个总和带入Sigmoid函数中,进而得到一个介于[0, 1]的数值,最后,结果大于 0.5 归于1类,小于0.5归于0类,所以Logistic回归也可看成概率估计。

确定了分类器函数形式,现在的问题是:

  1. 最佳回归系数是?
  2. 如何确定它们的大小?

3. 基于最优化方法的最佳回归系数确定

\[ z = w_0 x_0 + w_1 x_1 + w_2 x_2 + ... + w_n x_n \]

z 为 sigmoid函数输入

采用向量写法: \[ z = w^T x \] 表示将这两个数值向量的对应元素相乘再全部相加,即得到 z值

其中,向量 x 是分类器的输入数据,向量 w 是我们要找到的最佳参数(系数)

为了寻找最佳参数,接下来使用最优化知识。

3.1 梯度上升法

梯度上升法 基本思想:

要找到一函数最大值,就沿着该函数的梯度方向搜索

梯度记为 \(\bigtriangledown\) , $$ f(x,y) =

( \[\begin{array}{c} \frac{\partial f(x,y)} {\partial x} \\ \frac{\partial f(x,y)} {\partial y} \end{array}\]

) $$ \(\frac{\partial f(x,y)} {\partial x}\)\(f(x,y)\)\(x\) 求偏导,\(\frac{\partial f(x,y)} {\partial y}\)\(f(x,y)\)\(y\) 求偏导

PS: 原书:这个梯度意味着:沿 x方向移动 \(\frac{\partial f(x,y)} {\partial x}\),沿 y方向移动 \(\frac{\partial f(x,y)} {\partial y}\)

奇怪,梯度决定的不是方向吗?而步长才是决定朝着这个方向走多少,看了后面内容,应该是原书翻译错了

梯度上升算法到每个点后都会重新计算移动方向

梯度算子总是指向函数值增长最快的方向,而移动量的大小,称为步长,记做:\(\alpha\)

向量表示,梯度上升算法 迭代公式: \[ w := w + \alpha \bigtriangledown_w f(w) \] 该公式一直迭代执行,直到达到某个停止条件,比如迭代次数达到指定值,或 误差达到允许范围

梯度下降算法:

公式一致,只是需要将 加法 改 减法

梯度上升算法 求函数最大值,而梯度下降算法 求函数最小值。

3.2 训练算法:使用梯度上升找到最佳参数

上图 简单数据集,将使用梯度上升法,找到 Logistic回归在此数据集上的 最佳回归系数,也就是 拟合出Logistic回归模型最佳参数

梯度上升法 伪代码如下:

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每个回归系数初始化为 1
重复R次:
计算 整个数据集的梯度
使用 `alpha × gradient` 更新回归系数 向量
返回 回归系数
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import numpy as np

def loadDataSet():
dataMat = [];
labelMat = []
fr = open("testSet.txt")
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))

return dataMat, labelMat


def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))


def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
# (以下两行)转换为 numpy 矩阵数据类型
dataMatrix = np.mat(dataMatIn)
labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
m, n = np.shape(dataMatrix)
# 步长
alpha = 0.001
# 最大迭代次数
maxCycles = 500
weights = np.ones((n, 1))
for k in range(maxCycles):
# (以下三行)矩阵相乘
h = sigmoid(dataMatrix * weights)
error = (labelMat - h)
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error

return weights

if __name__ == "__main__":
dataArr, labelMat = loadDataSet()
weights = gradAscent(dataArr, labelMat)
print(weights)

3.3 分析数据:画出决策边界

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def plotBestFit(weights):
import matplotlib.pyplot as plt
dataMat, labelMat = loadDataSet()
dataArr = np.array(dataMat)
# n行
n = np.shape(dataArr)[0]
xcord1 = []
ycord1 = []
xcord2 = []
ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i, 1])
ycord1.append(dataArr[i, 2])
else:
xcord2.append(dataArr[i, 1])
ycord2.append(dataArr[i, 2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s = 30, c = 'red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s = 30, c = 'green')
x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
# 最佳拟合直线
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
print(x.shape, y.shape) # (60,) (1, 60)
#ax.plot(x, y)
ax.plot(x, y.transpose())
plt.xlabel('X1')
plt.ylabel('X2')
plt.show()

缺点:数据集很小,这个方法却需要大量的计算(300次乘法)

3.4 训练算法:随机梯度上升

梯度上升算法在每次更新回归系数时 都需要遍历整个数据集,该方法在处理100个左右的数据集时尚可,若有数十亿样本和成千上万的特征,那么该方法计算复杂度过高。

改进方法:一次仅用一个样本点来更新回归系数,该方法称为 随机梯度上升算法

由于可在新样本到来时 对分类器进行增量时更新,因而随机梯度上升算法是一种在线学习算法。

与 "在线学习"相对应,一次处理所有数据 称为 “批处理”

随机梯度上升算法 伪代码如下:

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所有回归系数初始化为 1
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
使用 alpha × gradient 更新回归系数值
返回 回归系数值
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# 随机梯度上升
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
m,n = np.shape(dataMatrix)
alpha = 0.01
weights = np.ones(n)
for i in range(m):
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
error = classLabels[i] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]

return weights

改进的随机梯度上升算法

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# 改进的随机梯度上升算法
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
m, n = np.shape(dataMatrix)
weights = np.ones(n)
for j in range(numIter):
dataIndex = range(m)
for i in range(m):
# alpha 每次迭代时需要调整
alpha = 4 / (1.0 + j + i) + 0.01
# 随机选取更新
randIndex = int(np.random.uniform(0, len(dataIndex)))
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex] * weights))
error = classLabels[randIndex] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
del (dataIndex[randIndex])

return weights

4. 示例:从疝气病症预测病马的死亡率

4.1 准备数据:处理数据中的缺失值

  • 使用可用特征的均值来填补缺失值;
  • 使用特殊值来填补缺失值,如-1;
  • 忽略有缺失值的样本;
  • 使用相似样本的均值添补缺失值;
  • 使用另外的机器学习算法预测缺失值。

4.2 测试算法:用Logistic回归进行分类

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# logistic 回归分类函数
def classifyVector(inX, weights):
"""

:param inX: 特征向量
:param weights: 回归系数
:return:
"""
prob = sigmoid(sum(inX * weights))
if prob > 0.5:
return 1.0
else:
return 0.0

def colicTest():
frTrain = open('horseColicTraining.txt')
frTest = open('horseColicTest.txt')
trainingSet = []
trainingLabels = []
for line in frTrain.readlines():
currLine = line.strip().split("\t")
lineArr = []
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
trainingSet.append(lineArr)
trainingLabels.append(float(currLine[21]))
trainWeights = stocGradAscent1(np.array(trainingSet), trainingLabels, 1000)
errorCount = 0
numTestVec = 0.0
for line in frTest.readlines():
numTestVec += 1.0
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr = []
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
if int(classifyVector(np.array(lineArr), trainWeights)) != int(currLine[21]):
errorCount += 1
errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
print("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
return errorRate

def multiTest():
numTests = 10
errorSum = 0.0
for k in range(numTests):
errorSum += colicTest()
print("after %d iterations the average error is:%f" % (numTests, errorSum/float(numTests)))
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if __name__ == "__main__":
# dataArr, labelMat = loadDataSet()
# print(dataArr)
# print(labelMat)
# weights = gradAscent(dataArr, labelMat)
# print(weights)
#
# plotBestFit(weights)

# 随机梯度上升
# dataArr, labelMat = loadDataSet()
# weights = stocGradAscent0(np.array(dataArr), labelMat)
# plotBestFit(weights)

# 5.3.2 测试算法:用Logistic回归进行分类
multiTest()

小结

Logistic回归的目的是 寻找一个非线性函数Sigmoid的最佳拟合参数,求解过程可由最优化算法完成。

在最优化中,最常用 梯度上升算法,而梯度上升又可简化为随机梯度上升

随机梯度上升 与 梯度上升 效果相当,但占用更少的计算资源。

此外,随机梯度上升 是一个在线算法,它可以在新数据到来时就完成参数更新,而不需要重新读取整个数据集来进行批处理运算。

如何处理缺失数据无标准答案,取决于实际应用需求

Q&A

补充

参考

感谢帮助!

  • 《机器学习实战》[美] Peter Harrington